Grundlegende Mathematik Beispiele

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot {(y - 4)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{1}{8} \cdot {(y - 4)}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$y + 3 = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot {(y - 4)}^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe ${(y - 4)}^{2}$ als $(y - 4) (y - 4)$ um.

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot ((y - 4) (y - 4))$

Schritt 1.3

Multipliziere $(y - 4) (y - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y (y - 4) - 4 (y - 4))$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 (y - 4))$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4)$

Schritt 1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y^{2} + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4)$

Schritt 1.4.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $y$ .

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y^{2} - 4 \cdot y - 4 y - 4 \cdot - 4)$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y^{2} - 4 y - 4 y + 16)$

Schritt 1.4.2

Subtrahiere $4 y$ von $- 4 y$ .

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y^{2} - 8 y + 16)$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 3 = \frac{1}{8} y^{2} + \frac{1}{8} (- 8 y) + \frac{1}{8} \cdot 16$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $y^{2}$ .

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} + \frac{1}{8} (- 8 y) + \frac{1}{8} \cdot 16$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.6.2.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 y$ heraus.

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} + \frac{1}{8} (8 (- y)) + \frac{1}{8} \cdot 16$

Schritt 1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} + \frac{1}{8} (8 (- y)) + \frac{1}{8} \cdot 16$

Schritt 1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} - y + \frac{1}{8} \cdot 16$

Schritt 1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.6.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} - y + \frac{1}{8} \cdot (8 (2))$

Schritt 1.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} - y + \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2)$

Schritt 1.6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} - y + 2$

Schritt 2

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\frac{y^{2}}{8} - y + 2 = y + 3$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{8} - y + 2 - y = 3$

Schritt 3.2

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$\frac{y^{2}}{8} - 2 y + 2 = 3$

Schritt 4

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{8} - 2 y + 2 - 3 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{y^{2}}{8} - 2 y - 1 = 0$

Schritt 5

Multipliziere mit dem Hauptnenner $8$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (\frac{y^{2}}{8}) + 8 (- 2 y) + 8 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 (\frac{y^{2}}{8}) + 8 (- 2 y) + 8 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + 8 (- 2 y) + 8 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$y^{2} - 16 y + 8 \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$y^{2} - 16 y - 8 = 0$

Schritt 6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 16$ und $c = - 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Addiere $256$ und $32$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{288}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $288$ als $12^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $144$ aus $288$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{144 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 8 \pm 6 \sqrt{2}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.3

Addiere $256$ und $32$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{288}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $288$ als $12^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $144$ aus $288$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{144 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 8 \pm 6 \sqrt{2}$

Schritt 9.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 8 + 6 \sqrt{2}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Schritt 10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.3

Addiere $256$ und $32$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{288}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.4

Schreibe $288$ als $12^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 10.1.4.1

Faktorisiere $144$ aus $288$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{144 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.4.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 10.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 8 \pm 6 \sqrt{2}$

Schritt 10.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 8 - 6 \sqrt{2}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 8 + 6 \sqrt{2}, 8 - 6 \sqrt{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = 8 + 6 \sqrt{2}, 8 - 6 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$y = 16.48528137 \dots, - 0.48528137 \dots$